Mas veja que, por exemplo, números primos, divisão com resto e muitas outras coisas interessantes (e importantíssimas) da matemática só fazem sentido para os naturais, ou inteiros; não fazem sentido para os números fracionários.
É verdade que podemos associar um número real redondo para cada número natural (1 com 1.00000, 2 com 2.0000 e assim por diante), mas isto não quer dizer que sejam a mesma coisa.
Quem estuda teoria dos conjuntos, acaba descobrindo razões mais científicas para considerá-los de fato coisas diferentes. Apesar de haver infinitos números naturais e infinitos números reais, o conjunto dos reais é "mais numeroso".
Os números naturais, enquanto conjunto, têm a interessante propriedade de serem contáveis. Um conjunto com uns poucos números, digamos, [1, 2, 4, 6] é obviamente contável. Mas o conjunto de todos os naturais [0, 1, 2, 3, 4, 5...], apesar de infinito, continua sendo contável. Sabemos que entre o elemento 0 e o elemento 5 existem apenas 1, 2, 3, 4, e nada mais. Também sabemos que depois do 3, vem necessariamente o 4.
Já o conjunto dos números reais, além de infinito, é incontável. Delimitar uma faixa (digamos, de 0,00 até 0,01) cria outro conjunto infinito. Sempre podemos achar um número real que fique "ensanduichado" entre outros dois, basta adicionar mais casas decimais.
Mais importante que isso: há tantos números na pequena faixa entre 0 e 0,01 quanto há no conjunto completo dos reais. É incrível mas é verdade. Veja que a função f(x) = x / (0,01 - x) resulta em 0 para x=0 e tende ao infinito quando x aproxima-se de 0,01. Ou seja, consigo "produzir" qualquer número real positivo a partir de um "x" que varia apenas de zero a 0,01.
Isto não seria possível no conjunto dos números naturais. Não existe uma função que "fabrique" qualquer número natural até o infinito a partir de uma pequena faixa, simplesmente porque uma faixa de números naturais é forçosamente finita e contável.
Também não existe nenhuma função que relacione cada número real com um número natural. Por exemplo, a função f(x)=x * 100,0, com "x" real, relaciona 0,01 com 1, 0,02 com 2 e assim por diante. Mas o número real 0,015 não está relacionado a nenhum natural, nesta função. Qualquer que seja a função, sempre ficarão muitos números reais "de fora" da relação.
Podemos então afirmar que "há mais" números reais que naturais, muito embora sejam dois conjuntos infinitos. Em linguagem científica, a cardinalidade dos reais é maior. É bastante estranho isso, constatar que existem diferentes "infinitos"...
Um dispositivo interessantíssimo para demonstrar a não-contabilidade dos números reais, é o argumento diagonal de Cantor. A partir de um conjunto de números reais, infinito mas pretensamente contável, eu sempre consigo "fabricar" um número real completamente diferente. Exemplo:
0,333...
0,444...
0,555...
...
Para fabricar um número "inédito", preciso pegar o primeiro dígito decimal do primeiro número, o segundo dígito do segundo número, e assim por diante. Ficaria assim:
0,333...
0,444...
0,555...
...
0,345.... (número diferente de qualquer outro que já havia)
Posso incluir o novo número 0,345 na lista e usar o mesmo truque novamente, e obterei sempre um número inédito.
O argumento diagonal de Cantor depende de algumas coisas para funcionar. Tem de haver infinitos números na lista, cada um com (potencialmente) infinitas casas decimais. Uma lista finita, ou que contenha apenas números redondos e dízimas periódicas, azeda o truque.
Uma fina observação: note que podemos fazer a diagonalização porque uma seqüência infinita de dígitos pode ser um número real válido, desde que haja uma vírgula decimal no lugar certo. Por exemplo, o número Pi: 3,1415926...
Já uma sequência infinita de dígitos sem vírgula decimal (31415926...) não é um número inteiro válido, e não podemos usar a diagonalização de Cantor para "fabricar" inteiros válidos.
Aspectos curiosos de alguns outros conjuntos, numéricos ou não
Um programa de computador é uma sequência finita de números pequenos (bytes), portanto pode ser representado por um único número natural (bem grande, é claro). Assim, o conjunto de todos os programas de computador e/ou algoritmos é infinito porém contável.
Mas o conjunto de todas as possíveis funções envolvendo números naturais é infinito e incontável. Portanto, há funções (ou problemas) que não podem ser resolvidos com um programa de computador.
O conjunto dos inteiros Z (que inclui números negativos) pode ser relacionado com os naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5... pode ser transformado em 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3... Portanto Z tem a mesma cardinalidade dos naturais e é contável.
Mais surpreendentemente, podemos relacionar o conjunto dos números fracionários, também denominados racionais, com os naturais. Assim, o conjunto Q também é contável. Isso apesar do fato de existirem infinitas frações entre, por exemplo, 0 e 1 (exemplos: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...).
Se Q (conjunto dos racionais) é contável, e R (conjunto dos reais) é incontável, então deduzimos que o conjunto I (números irracionais) é incontável e maior que Q. Há mais números irracionais que racionais, muito embora lidemos com pouquíssimos números irracionais no dia-a-dia (o número Pi é um deles).